Las Matemáticas en el contexto Educativo.

             Las Matemáticas en la Educación

Las matemáticas o matemática (del lat. mathematĭca, y este del gr. μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos). Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes variables. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.Algunas definiciones clásicas restringen las matemáticas al razonamiento sobre cantidades,aunque sólo una parte de las matemáticas actuales usan números, predominando el análisis lógico de construcciones abstractas no cuantitativas.

Las Matemáticas forman parte del patrimonio cultural de la humanidad, ha estado ligada a sus grandes creaciones y constituye uno de los hilos conductores de la historia de las ideas y del pensamiento humano. El conocimiento de sus contenidos y de sus métodos constituye un capítulo importante de la formación cultural y académica de una sociedad moderna.

 

 

La Educación es uno de los pilares básicos de una sociedad y del propio Estado. En ese pilar descansa la formación y la preparación de los jóvenes para ser ciudadanos cultos y capaces de resolver situaciones que, sin duda, tendrán que analizar a lo largo de su vida. Muchos de ellos asumirán en un futuro inmediato complejas responsabilidades profesionales.

Es indudable que una formación de calidad necesita un planteamiento global de la educación, desde las primeras etapas de Primaria hasta la Universidad. Por lo que respecta a esta asignatura, tenemos que prestar especial atención a la etapa que va desde los inicios de la enseñanza

Secundaria hasta el Bachillerato, y también a la transición entre ´este y la Universidad.

Las Matemáticas constituyen una disciplina esencial para crear en los alumnos la capacidad de pensar, analizar y decidir. En esta asignatura estudiamos diferentes métodos y recursos para

la trasmisión de conocimientos (enseñanza) así como para la correcta asimilación por parte de los alumnos (aprendizaje).

En las Matemáticas de la enseñanza Secundaria Obligatoria se presentan los contenidos a través de procesos intuitivos. En Bachillerato se parte de las bases asentadas en la enseñanza

Secundaria obligatoria, y nos apoyamos en ellas para desarrollar la capacidad de análisis y comprensión de la realidad. Por otra parte, se introducen nuevas herramientas matemáticas necesarias para el aprendizaje científico, tanto en el propio Bachillerato como en los estudios posteriores de carácter científico -técnico.

En este proceso de enseñanza -aprendizaje intervienen una serie de factores que vamos a ir desarrollando a lo largo de diferentes sesiones: objetivos de las asignaturas de Matemáticas en  la E.S.O. y Bachillerato, el modelo axiomático-deductivo en la enseñanza: ventajas e inconvenientes, la intuición y el rigor, el papel de la Historia en el proceso educativo, metodología, motivación, evaluación, etc. En definitiva, se trata de analizar que se enseña,  y cómo se enseña. Haremos en esta sesión un resumen de todo ello.

 

Matemáticas en el Bachillerato

 Como se ha dicho anteriormente, en la E.S.O. se presentan los conceptos de forma intuitiva, siendo el Bachillerato el lugar donde se debe comenzar a dar una visión más formal de los contenidos.

No se deben perder de vista aspectos históricos que nos ayuden a situar los problemas, poniendo de manifiesto que las Matemáticas están constituida por un conjunto de conocimientos

con los que se pretende crear modelos de las situaciones que se dan en la realidad.

Desde el punto de vista pedagógico y metodológico las Matemáticas en el Bachillerato asumen un triple papel:

1. Papel formativo.

El desarrollo de los contenidos matemáticos permiten a los alumnos mejorar sus estructuras mentales y adquirir aptitudes cuya utilidad y alcance trasciendan el ´ámbito de las propias Matemáticas. En este sentido, por ejemplo, la resolución de problemas requiere poner en juego unas estrategias de pensamiento que son extrapolables a otras ´áreas de conocimiento y a la propia realidad.

El papel formativo de las Matemáticas se completa incitando los alumnos a la búsqueda de la armonía, a la adquisición de una visión amplia y científica de la realidad, al desarrollo de la creatividad y de otras capacidades personales y sociales.

2. Papel instrumental

Atendiendo a este papel, las Matemáticas proporcionan técnicas y estrategias básicas, necesarias para el estudio de otras ´áreas de conocimiento y para la actividad profesional.

3. Fundamentación teórica

En las Matemáticas de Bachillerato se da una fundamentación teórica al cuerpo de conocimientos, mediante definiciones, demostraciones y encadenamientos conceptuales y lógicos. ´Estos confieren validez científica a las intuiciones y a las técnicas y estrategias aplicadas a lo largo de las etapas anteriores.

 

        Objetivos generales

Comprender los conceptos, procedimientos y estrategias matemáticas que les permitan desarrollar estudios posteriores más específicos de ciencias o técnicas y adquirir una formación científica general.

Aplicar sus conocimientos matemáticos a situaciones diversas, utilizándolos en la interpretación  de las ciencias, en la actividad tecnológica y en las actividades cotidianas.

Analizar y valorar la información proveniente de diferentes fuentes, utilizando herramientas matemáticas, para formarse una opinión propia que les permita expresarse críticamente sobre problemas actuales.

Utilizar con autonomía y eficacia las estrategias características de la investigación científica y los procedimientos propios de las Matemáticas (plantear problemas, formular y contrastar hipótesis, planificar, manipular y experimentar) para realizar investigaciones y, en general, explorar situaciones y fenómenos nuevos.

 

Expresarse oral, escrita y gráficamente en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente, mediante la adquisición y el manejo de un vocabulario especifico de términos y notaciones matemáticos.

Mostrar actitudes asociadas al trabajo científico y a la investigación matemática, tales como la visión crítica, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el cuestionamiento de las apreciaciones intuitivas y la apertura a nuevas ideas.

Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, adquirir rigor en el pensamiento científico, encadenar coherentemente los argumentos y detectar incorrecciones lógicas.

Abordar con mentalidad abierta los problemas que la continua evolución científica y tecnológica plantea a la sociedad dominando el lenguaje matemático necesario.

Apreciar el desarrollo de las Matemáticas como un proceso cambiante y dinámico, íntimamente relacionado con el de otras ´áreas del saber, mostrando una actitud flexible y abierta ante las opiniones de los demás.

Ramas de las Matemáticas

    Una rama de laa matemáticas es una categoría o división de ella. Es decir una parte del sistema complejo que se considera dentro de la ciencia madre. Básicamente son 10, pero existen un sinnumero de pequeñas ramas inrelacionadas que cubren el espectral de la ciencia llamada Matemáticas. Algunas de estas convergen en alguna otra ciencia como la lógica, la física, biología y la informática, entre otras,  pero como ramas de la matemática sólo toman una base en estas y lo transforman en un estido estríctamente matemático aplicado a la ciencia.

   En el caso de la física, esta se considera una ciencia fuera completamente de las matemáticas aunque su estudio se base en ellas, pero dentro de las matemáticas hay estudios que hacen referencia a ella ej: lanzamientos parabólicos, caída libre entre otros. Estudiados como aplicación del cálculo, y es una pequeña... pequeña... sub rama de este. Lo mismo en el caso de las otras ciencias, aunque existe, por ejemplo, el caso de la lógica, que es una ciencia formal, donde la matemática cumple un rol a la par de ella, es decir no existe matemática sin lógica, ni lógica sin matemática, por eso una de las ramas básicas de las matemáticas es la lógica matemática.

   Es necesario aclarar, antes de continuar, que no existe una pared divisora entre estas ramas, más bien, todas están interrelacionadas de mayor o menor forma. No existe un "momento" donde dejemos de hablar de aritmética para hablar de álgebra, o de lógica matemática para hablar de teoría de conjuntos etc. Por lo que no pueden estudiarse de manera totalmente independiente. Es por esto que se dice que la matemática tiene una forma piramidal, si no se tienen conocimientos básicos de aritmética es imposible comprender el álgebra, si no conoce algebra y geometría plana es imposible entender geometría analítica etc.

Como he dicho antes, se distinguen 10 ramas principales que prosigo a explicar:

1. Teoría de Conjuntos

Los Conjuntos son discriminados por muchos como una rama básica de las matemáticas. Dicen, algunos que son inservibles y poco prácticos. Personalmente discrepo completamente. Los conjuntos son la base prima de las matemáticas, utilizada de forma constante en aritmética, algebra, lógica matemática, matemática aplicada etc. No solo tiene una forma básica, quienes han estudiado estructuras algebraicas ó algebra lineal saben lo importante que es conocer de conjuntos.

El primer estudio en teoría de números hecho formalmente lo hizo Cantor (Gerg Cantor, Alemán) basado en un concepto de conjuntos intuitivo, definifo como "colección de objetos", con la particularidad de que debe estar bien definido, esto es, que se pueda saber con claridad que un elemento pertenece o no pertenece al conjunto. (esta definición tiene problemas con lo que llamamos paradojas). En el siglo XIX Frege postuló que los conjuntos se definían solo por propiedades. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC (Axiomas de Zermelo-Fraenkel), aunque se conserva con orgullo la definición de Cantor.

 Se distinguen en la teoría de conjuntos relaciones entre ellos "ser iguales"; "ser distintos"; "ser subconjunto", "ser complementario" etc. y operaciones como "Unión"; "Intersección"; "diferencia", etc.

Subramas principales:

·         Algebra de Conjuntos

·         Relaciones y Funciones

·         Particiones

·         Combinatoria 

 2. Lógica Matemática

 La lógica matemática es una rama a su vez de la lógica y la matemática como ciencias distintas. Es sin duda una rama importante y básica en el estudio de las matemáticas. Es cierto que los primeros matemáticos no lo expresaban explicitamente, pero la lógica matemática ha estado tras toda demostración matemática.

Consiste en el estudio matemático de la lógica y su aplicación en las distintas areas de las maetemáticas. Por razones obvias está muy relacionada con la informática y la lógica filosófica. Estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjunrtos, números, demostraciones, etc.

Es, la matemática de la lógica (y no al revés como algunos piensan), incluye todas las partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.

Su nombre fue dado por quien dió la primera estructura axiomática al conjunto de los números naturales, Giuseppe Peano, en escencia refiere a la lógica de aristóteles, pero con una nueva notación, más abstracta tomada del álgebra. Antes que él, ya se habían hecho varios intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de Leibniz y Lambert, pero esta no fue conocida.

Fue a mediados del siglo XIX que George Booble y Augustus De Morgan presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. Así reformaron y completaron la lógica aristotélica, obtenienco una herramienta apropiada para la investigación de los fundamentos de la matemática.

Subramas principales

• teoría de modelos
• teoría de la demostración
• teoría de la recursión
• Fundamentos de las matemáticas
• Matemáticas discretas

3. Aritmética

La aritmética es la más antigua y elemental rama de la matemática, utilizada en casi todo el mundo, en tareas cotidianas como contar y en los más avanzados cálculos científicos. Estudia ciertas operaciones con los números y sus propiedades elementales.

Hay evidencias de su utilización desde la prehistoria, se han encontrado inscritos en objetos que indican clara concepción de la suma y resta con números enteros (ejemplo el hueso Ishango de Africa Central 18000 y 20000 a. C.), luego hay evidencias maravillosas entre los babilóneos (tablilla Plimpton 322), egipcios (papiro de Ahmes) quienes trabajaron incluso con fracciones.

Pero fue la aritmética india, que era mucho más simple que la griega, la que nos dio nuestra forma de representar los números, además que posía desde tiempos antiguos la utiliación del cero y una notación posicional. Fue en el siglo VII que el ovispo Severo Senbhokt hace conocido este método y lo llamaron Hesab. Fibonacci lo presentó en Europa en 1202. y en la edad media la aritmética se convierte en una de las 7 artes liberales enseñadas en las universidades.

Los modernos algoritmos de cálculo fueron posibles gracias a la introducción de los números árabes y la notación decimal posicional. Los números árabes, basados en la aritmética, fueron desarrollados por los grandes matemáticos indios Aryabhatta, Brahmagupta y Bhaskara I. Aryabhatta ideó la notación posicional, dando diferente valor a un número dependiendo del lugar ocupado, y Brahmagupta añadió el cero al sistema numérico indio. Brahmagupta desarrolló la moderna suma, resta, multiplicación y división, basadas en los números arábigos. A pesar de que ahora se considera elemental, su sencillez es la culminación de miles de años de desarrollo matemático. Por el contrario, el antiguo matemático Arquímedes dedicó todo un tratado para la elaboración de una notación con determinados números. El florecimiento de álgebra en el mundo medieval islámico y en el renacimiento europeo fue fruto de la enorme simplificación de las operaciones mediante la notación decimal posicional.

 Subramas principales

• Teoría de números
• Conjuntos numéricos
• Historia de las matemáticas

·         Sistemas de numeración

4. Algebra

Estudia las estructuras, relaciones y las cantidades. Y convierte en una generalidad las propiedades particulares aprendidas en la aritmética. Su estudio permite un nivel de abstracción superior e indispensable para estudios superiores y por supuesto la resolución de ecuaciones.

 La palabra Algebra es de origen Árabe, proviene de un libro traducido en Toledo, España de Al-Jwarismi llamado Al-Kitab al-Jabr wa - I- Muqabala, significa compendio de cálculo por el método de reducción y balanceado, Algebra significa literalmente reducción.

A pesar de que su nombre viene del árabe, el origen del álgebra está mucho antes, hay indicios de ellas en los trabajos de los babilóneos, a diferencia de los egipcios, chinos, indios etc. que resolvían los mismos problemas pero de forma geométrica.

Es mucho más tarde que los matemáticos árabes y musulmanes desarrollaron métodos algebraicos a un grado de mayor sofisticación, Al-Jwarismi  fue el primero en resolver ecuaciones usando métodos generales. Él resolvió el indeterminado de ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas. ecuaciones indeterminadas de segundo orden y ecuaciones con múltiples variables.

Hacia mediados del siglo XVI se solucionaron algebraicamente las ecuaciones cúbicas y guárticas. Luego en el siglo XVII  el japonés Kowa Seki desarrolló la idea de un factor determinante, seguido por Leibniz diez años más tarde, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices. El álgebra es sin duda, la base del pensamiento abstracto, su lenguaje tal como lo conocemos fue desarrollado por Vieta, aunque antes de él hubieron muchos intentos relacionados y útiles de cierto modo.

 Subramas principales

·         Cálculo

·         Algebra lineal

·         Estructuras algebraicas

·         Geometría analítica

5. Geometría Euclidiana

 Antes que nada haré una aclaración, la rama escencial de las matemáticas es la Geometría, pero habiendo diferencias tangibles en el trabajo algebraico y el geométrico he decidido, deliveradamente, separarla en dos, esto es geometría Euclidiana , y Geometría analítica.

Ya dichoi esto, comencemos con la Geometría Euclidiana, esta es aquella basada o derivada de forma concreta de los Elementos de Euclides, es decir que trabaja las propiedades del plano y el espacio tridimencional.

Cuando hablamos de propiedades del plano, nos adentramos en lo que llamamos geometría plana estudiada por Euclides, pero que no deja fuera trabajos de otros autores como  los que hubieron desde Arquímides hasta Steiner. Se le llama Euclidiana porque los Elementos de Euclides es el mayor compilado histórico de este tema.

 Su estudio es sistemático y se basa en definiciones, axiomas, postulados y teoremas que permiten una demostración de cada una de las aceveraciones que se presentan.

De cierto modo la geometría Euclidiana no comenzó con Euclides, ya que los babilóneos, egipcios, chinos, indios y griegos antes de él ya lo habían trabajado, pero sólo él lo presentó de una forma ordenada y axiomática.

Subramas principales

·         Polígonos

·         Geometría Plana

·         Geometría del espacio

·         Transformaciones isométricas y homotecias

6. Geometría analítica

La geometría analítica convierte todo saber geométrico en una ecuación algebraica, es decir permite su estudio a través de técnicas de análisis matemático y  de álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

Sus orígenes están con la conocida obra de Descartes, donde por primera vez se habló literalmente, de geometría analítica, y la desconocida obra de Fermat, contemporáneos, quienes de forma independiente, y basado en el lenguaje algebraico desarrollado por Vieta, dan pie a lo que hoy conocemos como geometría  analítica. Es por descartes que algunos le llaman Geometría Carteciana.

Los trabajos en esta área continúan, hasta llegar a lo que hoy llamamos geometría diferencial, desarrollada por Gauss.

Subramas principales

·         Geometría diferencial

·         Tangentes

·         Cálculo

·         Geometría Analítica espacial

7. Probabilidad

La probabilidad es el estudio del azar. Mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

Su desarrollo es relativamente moderno, los juegos de azar muestran que ha habido interés por cuantificar las idea de la probabilidad durante milenios, pero las matemáticas exáctas para resolverlos aparecieron mucho después.

Mucho del estudio de la probabilidad viene del trabajo de Cardano en el siglo XVI, Fermat y Blaise, Christiaan huygens en el siglo XVII, Jakob bernoulli y Abraham de Moivre en ell siglo XVIII, el más destacado en ese siglo y en este tema fue Perre- Simon Laplace quien hizo el primer intento para deducir una regla para la combinacion de observaciones a partir de los principios de la teoría de las probabilidades. Representó la ley de la probabilidad de error con una curva y = φ(x), siendo x cualquier error e y su probabilidad, y expuso tres propiedades de esta curva:

1.     es simétrica al eje y;

2.     el eje x es una asíntota, siendo la probabilidad del error igual a 0;

3.     la superficie cerrada es 1, haciendo cierta la existencia de un error.

Dedujo una fórmula para la media de tres observaciones. También obtuvo (1781) una fórmula para la ley de facilidad de error (un término debido a Lagrange, 1774), pero una que llevaba a ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introdujo el principio del máximo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.

Subramas principales

• lógica matemática del azar
• Experimentos aleatorios
• Juegos de Azar
• Teoría del error

 8. Estadística

Es eeferente a la recolección, análisis e interpretación de datos, que busca explicar condiciones regulares en fenómenos de tipo aleatorio.

Los métodos estadístico matemáticos emergieron desde la teoría de probabilidad, la cual data desde la correspondencia ciertamente entre Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christian Huygens (1657) da el primer tratamiento científico que se conoce a la materia. El Ars Conjectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y la Doctrina de Posibilidades (1718) de Abraham de Moivre estudiaron la materia como una rama de las matemáticas.En la era moderna, el trabajo de Kolmogórov ha sido un pilar en la formulación del modelo fundamental de la Teoría de Probabilidades, el cual es usado a través de la estadística.

Los fundadores de la estadística como tal son Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole quienes mejoraron la presentación de la teoría. Adolphe Quetelet (1796-1874), fue otro importante fundador de la estadística y quien introdujo la noción del "hombre promedio" (l'homme moyen) como un medio de entender los fenómenos sociales complejos tales como tasas de criminalidad, tasas de matrimonio o tasas de suicidios.

Subramas principales

• Estadistica descriptiva
• Inferencia estadística
• Bioestadística

9. Cálculo

Consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos.

El término "cálculo" procede del latín calculum, piedrecita que se mete en el calzado y que produce molestia. Precisamente tales piedrecitas ensartadas en tiras constituían el ábaco romano que, junto con el suwanpan japonés, constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar.

Los antecedentes de procedimiento de cálculo, como algoritmo, se encuentran en los que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; así como Diofanto precursor del álgebra.

El sistema que usamos actualmente fue introducido por Luca Pacioli en 1494, y fue creado y desarrollado para responder a la necesidad de la contabilidad en los negocios de la burguesía renacentista.

En el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más destacados Descartes,[8] Pascal[9] y, finalmente, Leibniz y Newton[10] con el cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo.

El cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para la modelización de las teorías científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo numérico.

Subramas principales

• Logica Modal
• Aplicaciones físicas
• Optimización
• Diferenciación

10. Matemática Aplicada

 Se refiere a todos aquellos métodos y herramientas matemáticas que pueden ser utilizados en el análisis o solución de problemas pertenecientes al área de las ciencias aplicadas o sociales.

Muchos métodos matemáticos han resultado efectivos en el estudio de problemas en física, química, biología, medicina, ciencias sociales, administración, ingeniería, economía, finanzas, ecología entre otras.

La definición no es absolutamente estricta, ya que, en principio, cualquier parte de las matemáticas podría ser utilizada en problemas reales; sin embargo una posible diferencia es que en matemáticas aplicadas se procura el desarrollo de las matemáticas "hacia afuera", es decir hacia el resto de las áreas. Y en menor grado "hacia dentro" o sea, hacia el desarrollo de las matemáticas mismas. Este último sería el caso de las matemáticas puras.

Subramas principales

• Bioestadística
• Matemáticas discretas
• Matemáticas financieras

NOTA: Cuando hablo de SUBRAMAS importantes no me refiero a derivados de ellas, sino a pequeñas ramas o ramas de la matemática que utilizan de forma importante los conocimientos  de esta.

El método axiomático deductivo

 

Como sabemos, el modelo axiomático-deductivo consiste en construir una teoría estableciendo un sistema de postulados o axiomas y deduciendo o demostrando a partir de ellos las propiedades o teoremas que constituyen la propia teoría. Las Matemáticas se han venido exponiendo bajo este modelo desde la antigüedad griega, siendo los Elementos de Euclides el ejemplo paradigmático, aunque su uso en la enseñanza ha sido más reciente. De hecho, la culminación del proceso se produce a mediados del siglo XX con Bourbaki. Aunque la enseñanza a este nivel está lejos del empleo sistemático del modelo axiomático-deductivo, haremos un pequeño recorrido por las ventajas e inconvenientes del mismo.

Entre las ventajas de la utilización de este modelo en la enseñanza podemos destacar las siguientes:

1. Al presentar la teoría como un edificio perfectamente construido se consigue una mejor visión estructural de la misma.

2. Con la presentación estructurada de la teoría se consigue una notable simplificación y economía de notaciones y símbolos.

3. Optimización de la relación “contenidos expuestos-tiempo empleado”, hecho que se hace casi imprescindible en la explicación de algunos temas.

4. Posibilidad de transmitir la teoría a un mayor número de alumnos, incidiendo así en la problemática de la relación numérica profesor-alumno.

Sin embargo, casi todas estas ventajas se vuelven inconvenientes cuando se trata de la Enseñanza Secundaria. Y además cabe señalar:

1. La diferencia entre la forma en que se genera una teoría, a partir de un problema concreto al que hay que dar solución, y la forma de presentarla, desapareciendo incluso, a veces, el problema que la generó, lo que puede provocar falta de motivación en el alumno.

2. La típica secuencia axioma-definición-lema-teorema-corolario puede crear dificultad para distinguir los aspectos esenciales de los accesorios; por ejemplo, poner excesivo ´énfasis en las demostraciones puede hacer creer que la demostración es más importante que el propio teorema.

3. Efectos negativos sobre la creatividad del alumno que, al ver la teoría completamente elaborada, puede minusvalorar el papel de la intuición en el quehacer matemático.

Por supuesto, todas estas ventajas e inconvenientes son absolutamente discutibles y sólo la reflexión y la práctica, unidas a las circunstancias de cada situación, nos permitirán elegir el camino adecuado.

El rigor y la intuición

 

Es bien sabido que el rigor es una herramienta necesaria para el matemático, pero es importante no sobrevalorar su importancia y saber en que momento debe hacerse presente. Los Procesos matemáticos, como los procesos científicos en general, atraviesan dos etapas: en primer lugar hay una fase intuitiva en la que se busca, se imagina, se conjetura sobre cual puede ser la solución del problema. En esta etapa se puede actuar sin rigor, es más, a veces el rigor puede ser

Contraproducente. En segundo lugar está la fase demostrativa en la que, por métodos rigurosos, hay que probar que la solución encontrada es verdaderamente la solución del problema. Aquí es donde el rigor se hace imprescindible.

Así pues, en las etapas en las que es conveniente empezar a hacer demostraciones, esto es, en Bachillerato, el rigor debe hacer su aparición al final del camino y esta circunstancia debemos tenerla en cuenta en nuestro modelo de enseñanza para no cargar al alumno con un excesivo rigor desde el principio, sino que, por el contrario, debemos fomentar su creatividad, desarrollando la intuición y haciéndole perder el miedo a intervenir y hacer propuestas, aunque después puedan no conducir a nada.

         La Historia de las Matemáticas en el proceso educativo

Independientemente de que se puedan establecer contenidos sobre Historia de las Matemáticas en la Enseñanza Secundaria, lo que se propone es integrar la historia dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje.

Las razones por las que esta integración puede ser positiva se resumen fácilmente:

1. Recuperación de los orígenes de las teorías, generando interés en conocer los problemas que fueron el motor de las mismas.

2. Intercalando apuntes históricos, anécdotas y comentarios de la biografía de los matemáticos que desarrollaron la teoría se puede hacer más humana y menos árida la fría cadena deductiva.

3. La Historia siempre nos dará una visión más cercana de cuáles han sido los aspectos más importantes de una teoría, y cuáles son aquellos que han resultado después interesantes para las propias Matemáticas y para otras disciplinas.

4. La necesidad de adoptar notaciones y lenguajes matemáticos precisos encuentra en la

Historia cantidad de ejemplos que la justifican y ponen de manifiesto cuándo ha hecho falta el rigor para resolver problemas fundamentales.

Estas razones constituyen también una guía para poner en práctica un uso de la Historia como Herramienta pedagógica, pero ha de ser el profesor quien busque en cada momento el hecho histórico apropiado para conseguir en sus clases el efecto deseado.

La clase

El marco fundamental en el que se desarrolla la labor docente es la clase. Ya hemos hablado de la importancia que tiene un adecuado equilibrio entre rigor e intuición y es en la clase donde hay que conseguirlo. En los diferentes niveles de Secundaria se pone especial énfasis en la resolución de problemas, y es en ese ámbito donde mejor se puede conducir al alumno por el camino de la intuición y de la creación. Nunca se debe explicar un problema como si se tratara de una demostración teórica, sino que se debe transmitir el proceso que se ha seguido para encontrar la solución: comprensión clara del enunciado, problemas análogos, cálculos previos, dibujos, caminos erróneos, etc.

Se deberán proponer ejercicios ordenados por dificultad y dejar que los alumnos traten de resolverlos. Es conveniente dedicar un tiempo a esta tarea con la presencia del profesor en clase, animando a la consulta en voz alta y a posibles propuestas de solución por parte de compañeros.

Aunque centremos nuestra atención en la resolución de problemas debemos hacer ver a los alumnos que los problemas no se resuelven si no se conocen ciertos resultados teóricos. Es conveniente comenzar siempre con una introducción al tema que se va a explicar, algún apunte histórico, conocimientos previos, relación con lo visto anteriormente, etc.

Si bien la pizarra es nuestra herramienta de trabajo habitual, los materiales didácticos, los medios audiovisuales y los recursos informáticos deben jugar un importante papel en la clase. El uso de programas como Derive, Máxima o Maple pueden facilitar el trabajo en Cálculo y ´ Algebra, y programas de Geometría dinámica, como Cinderella, Geogebra o Cabri, permiten apuntar soluciones a problemas geométricas, que luego pueden ser objeto de análisis más profundo. Por supuesto, estos programas tienen que formar parte de la formación de los futuros profesores de Enseñanza Secundaria.

La Evaluación

La evaluación es la continuación natural del proceso de enseñanza-aprendizaje y no debemos entenderla como un trámite académico o administrativo, sino como una componente más unida a la programación y a la metodología. Podemos distinguir dos aspectos de la evaluación que, aunque diferentes, se complementan perfectamente. Por un lado, la evaluación de los conocimientos adquiridos por los alumnos nos permite hacer una valoración y emitir una calificación. Este objetivo se consigue tradicionalmente con pruebas y exámenes, pero, de alguna manera, hay que tender a que el peso de la nota final de un alumno no recaiga exclusivamente en el examen.

Por eso se hace necesario crear fórmulas que nos permitan diversificar la información sobre cada alumno, como pruebas intermedias, exposición de problemas en clase, presentación de trabajos, labor tutorial, etc.

El segundo aspecto de la evaluación nos afecta a nosotros como docentes, ya que la información que se obtiene de los alumnos nos puede ayudar a valorar nuestro trabajo y a realizar las oportunas modificaciones y correcciones metodológicas.

La competencia del profesor de matemáticas

Como es frecuente escuchar hoy en día la tendencia  es cada vez mayor a pasar de un aprendizaje mayormente centrado en el docente (concepto tradicional del proceso de enseñanza aprendizaje), hacia uno centrado en el estudiante, lo cual implica un cambio en los roles de estudiantes y docentes . Así pues el rol del docente dejara de ser únicamente el de transmisor de conocimientos para convertirse en un facilitador y orientador del conocimiento y en un participante del proceso de aprendizaje junto con el estudiante.

Pero este nuevo rol no disminuye la importancia del docente, aunque si requiere de el de nuevos conocimientos y habilidades. Quiere decir que tanto en la concepción tradicional del proceso de enseñanza aprendizaje como en su nueva concepción, el papel del docente es de vital importancia y por tanto se necesita de buenos docentes, competentes y capaces  de dejar una positiva huella en el estudiante.

Sin embargo existen factores relacionados con los docentes de matemática que afectan el proceso de enseñanza aprendizaje de esta materia, entre las que se puede plantear lo siguiente:

Falta generalizada de profesores de ciencias en todos los niveles de los sistemas educativos

Existencia de profesores de ciencia que, aunque con un adecuado dominio del contenido matemático, carecen de una formación didáctica solida.

Al respecto, Díaz (1997) señala que debido a una escisión entre el conocimiento científico y el conocimiento didáctico, hay instituciones educativas en que se a llegado aceptar, tacita o explícitamente, que basta con saber para enseñar. Brlth, citado por Díaz, refiere que: “la peor expresión seria afirmar que si uno sabe bien un tema, le es posible enseñar; esta expresión es un rechazo sínico a la dimensión teórica de la educación”.

El peor de los casos en que el profesor de ciencia no tiene un adecuado dominio del contenido que imparte.

Sabemos que un buen profesor de matemática no basta para lograr que los estudiantes alcancen todos los objetivos previstos en el proceso de enseñanza aprendizaje de esta disciplina, pero lo que si se puede afirmar es lo poco solido que resulta el aprendizaje bajo la dirección de un profesor incompetente profesionalmente por cualquiera de los factores anteriormente señalados. Junto a la competencia del profesor de matemática surgen las siguientes preguntas:

¿Están actos todos los estudiantes para, potencialmente aprender el contenido matemático?

¿Qué papel juega el profesor en lograr el aprendizaje de dicho contenido teniendo en cuenta tales potencialidades?

¿Solamente el profesor logra que aprendan aquellos estudiantes con potencialidades para aprender y en los otros casos no se logra el aprendizaje aunque el profesor sea competente?

En la práctica, aun con un profesor sumamente competente, hay estudiantes, con los que no se logra el aprendizaje.

Quedan así las puertas abiertas para investigaciones que contribuyan al logro del aprendizaje con estudiantes de pocas potencialidades para el mismo.

               El trabajo diferencial con los estudiantes

Los individuos que conforman los grupos de estudiantes que se forman para cursar una asignatura poseen similares edades o al menos pertenecen a un mismo rango de ellas, y por tanto los planes de estudios que tienen que vencer se suponen que están diseñados acorde a las características psicológicas correspondientes a la edad promedio que poseen, de manera tal que su objetivo son posibles de alcanzar por los integrantes del grupo en el plazo establecido que dura el plan de estudios.

Sin embargo se sabe que no todos los miembros tienen iguales intereses, motivaciones, aspiraciones ni características y posibilidades, incluso las condiciones personales y el medio familiar o laboral de los estudiantes de un mismo grupo, no tienen por que ser las mismas, todo lo cual se sabe  influye  en los resultados que del proceso enseñanza aprendizaje se obtenga. De hecho no todos obtienen iguales resultados evolutivos ni los alcanzan todos de iguales formas.

El principio didáctico de la vinculación de lo individual y lo colectivo plantea que en el proceso de enseñanza aprendizaje se debe conjugar los intereses del colectivo de estudiantes con los de cada uno sobre la base de la unión de los objetivos de dicho proceso. El profesor además de estimular el trabajo del colectivo, ha de prestar atención a las diferencias individuales, tanto de aquellos, estudiantes que son aventajados en relación con el resto del colectivo, como de aquellos que se rezagan.

Precisamente, al trabajo que debe realizar, el profesor con sus estudiantes en atención a sus diferencias individuales es a lo que se le llama trabajo diferenciado.

Este tipo de valor requiere de un mayor trabajo por parte del profesor, por cuanto se individualiza y diferencia para cada estudiante, aumentando a medida que crese el número de miembros del colectivo y pensamos que es esa la primera causa del deficiente trabajo diferenciado que en general realizan los profesores. Es más fácil para el cumplir con un proceso de enseñanza aprendizaje dirigida a la colectiva que individualizarlo.

Tal problemática conduce a la idea de reducir cada vez más el número de estudiantes que atienda un profesor, pero este paradigma a su vez encierra otros riesgos, como es el de propiciar un individualismo en contra posición a una educación en valores como son la solidaridad, la tolerancia, el respeto por las diferencias individuales, en resumen, el colectivismo, así como desarrollar habilidades de trabajo en grupo.

Precisamente. Uno de los cuatro pilares que considera la UNESCO sobre la educación para el siglo XXI, lo es aprender a vivir juntos, aprender a vivir con los demás, lo que significa el desarrollo de la comprensión de los otros es un espíritu de tolerancia, pluralismo, respeto de las diferencias y la paz. Su punto central es la toma de conciencia gracias a actividades tales como proyectos comunes o la gestión de conflictos de la interdependencia creciente de las personas, las comunidades y las naciones en un mundo cada vez más pequeño, frágil e interconectado.

también desde el punto de vista económico es costoso el aumentar cada vez más el número de profesores y, por otra parte, no se puede dejar de tener en cuenta el problema que representa la falta generalizada de profesores de ciencias en todos los niveles de los sistemas educativos ya señalados.

Existe pues una  contradicción entre el carácter colectivo e individual que debe tener el proceso de enseñanza aprendizaje, en cuya búsqueda de soluciones aun prevalece la dificultad para que el profesor desarrolle  un adecuado  trabajo diferenciado con sus estudiantes y por tanto, es este uno de los problemas actuales de la enseñanza aprendizaje de la matemática, de ahí que encontrar formas de desarrollar un adecuado trabajo diferenciado sin desatender el trabajo colectivo ni las condiciones económicas, constituye un campo de la investigación pedagógica necesario de abordar.

Matemática y sociedad:

Desde siempre,  la matemática en su rol formativo e informativo, la escuela ha transmitido conocimientos matemáticos con la finalidad de desarrollar el pensamientos de los niños. Sin embargo, y como todos los sabemos, en la escuela de hoy existe una nueva dimensión que llegó para quedarse, atravesandola en toda su extensión. Me refiero específicamente a la dimensión social de la enseñanza de la Matemáticas.

Desde esta perspectiva es obvio, entonces que la enseñanza de la matemática supere la actualidad su tan conocido, “aspecto instrumental” para construirse en un conocimiento necesario a fin de comprender y de enriquecer otros campos del saber humano.

En esta área del conocimiento es imprescindible puntualizar la necesidad de nuestros alumnos adquieran esquemas de conocimientos que les permitan ampliar sus experiencias dentro de lo cotidiano y acceder a sistemas de mayor grado de integración a través de procesos de pensamientos específicos dirigidos a la resolución de problemas en los diferentes sectores de la realidad.

Esta valoración debe ser entendida y apropiada por nosotros los docentes no solo cuando abordamos la selección de los contenidos conceptuales, si no también en el quehacer o procedimientos matemáticos que deben hacer los niños y en las actitudes, normas y valores frente a la adquisición de los mismos que tienen que construir los alumnos.

El pensamiento matemático:

En este punto es conveniente que el docente se pregunte cuando los niños comienzan aplicar el pensamiento matemático.

Algunos sostienen que esto se da en el momento que el estudiante hace su ingreso en la escuela primaria. Otros, en cambio dicen que los aprendizajes  de iniciación al conocimiento matemático que los niños  lo realizan en e Nivel Inicial y otros contextos  de aprendizaje, son producto de muchos de los conocimientos  que los pequeños aprenden ” sin escuela ” gracias a los juegos y acciones que realizan  sobre objetos próximos,  al intercambio personal con adultos significativos, a la interacción con medios audiovisuales y gráficos, o por el contacto directo que lo circundan.

Un  ejemplo concreto de este hecho es cuando un niño va a comprar en una tienda, él sabe cuanto cuesta el producto, cuanto le queda, nos damos cuenta que la matemática esta en la vida cotidiana antes de que los niños puedan contextualizar los números antes de ingresar a la escuela.

Nos damos cuenta que los niños construyen  espontáneamente conocimientos numéricos  como ” herramientas” y/o ” recursos” para resolver situaciones de su vida cotidiana ( Aprendizaje significativo ).

Sin embargo… el número como “objeto de conocimiento” en si mismo, el ” sentido del número”, su formulación simbólica, sus propiedades – entre otros aspectos- forman parte de un aprendizaje que requiere  ser enseñado ( Aprendizaje  escolar  mediante el docente ).

matematica dinamica

El Juego de la Oca para niños

1. Reglas

Es un juego de mesa para dos jugadores o más. Cada jugador avanza con su ficha por un tablero en forma de espiral con 63 casillas . Las fichas pueden ser hechas de papeles de colores, porotos, animalitos, o fichas de otros juegos como el Monopolio. Como en el Juego de la Oca, cada jugador, a su turno, tira un dado y con su ficha avanza tantas casillas como indica el dado. Algunas casillas son especiales y permiten avanzar más u obligan a retroceder según indica la leyenda del tablero. Si se desea que el juego sea más rápido se pueden usar dos dados en lugar de uno.

El juego se gana obteniendo la mayor cantidad de puntos. Los puntos se obtienen de la siguiente manera:

·         Supongamos que el jugador actual lanza el dado, sale 4 y la ficha cae en la casilla 10, entonces el jugador anterior al actual revisa la tabla de retos y pregunta al jugador actual la operación de multiplicación que la tabla indica. Si el jugador actual responde rápidamente se gana un punto. El jugador que plantea el reto puede verificar la respuesta en la misma tabla.

·         Los puntos se anotan en una tabla separada, esta tabla simplemente lleva anotados los nombres de los jugadores y cuántos puntos lleva cada uno.

·         Si la ficha del jugador cae sobre un casilla con un escarabajo, y el jugador contesta bien el reto entonces gana dos puntos en lugar de uno.

·         Si se juega con dos dados, entonces el jugador debe superar independientemente ambos retos. Ganando, o no, los puntos correspondientes.

·         El jugador que termina el recorrido primero obtiene 3 puntos sin necesidad de superar retos.

Las fichas pueden pasar a otras fichas. Si una ficha termina su movimiento en un espacio ya ocupado por otra ficha, la segunda ficha se traslada al espacio que ocupaba la primera ficha cuando empezó a moverse.

El qué tan bien sus hijos aprendan las tablas de multiplicar tiene un efecto muy directo sobre la forma en que progresan en matemáticas y otras materias en la escuela.

Si los niños aprenden las tablas de multiplicar de esta manera, podrá ver muchos beneficios positivos, incluyendo una mayor confianza y mejores resultados en otras materias.

Muchos niños no aprenden las tablas de multiplicar adecuadamente dando como resultado la pérdida de confianza y el deseo de practicar matemáticas. Otras materias se verán afectados por esta falta de confianza. Los niños sólo pueden acabar perdiendo el interés en matemáticas, y se volverán en poco abiertos a recibir de la buena educación que se merecen, y todo porque no se puso suficiente esfuerzo y el pensamiento en la enseñar de tablas de multiplicar en una forma fácil de recordar.

La pregunta es ¿por qué algunos niños aprenden las tablas de multiplicar fácil y las recuerdan con facilidad, ¿por qué otros no?

La forma aceptada de lar enseñanzar las tablas de multiplicar en la escuela es aprenderlas de memoria, y este es un método largo y que ocupa mucho tiempo. Esto es lo opuesto a cómo los niños piensan y se comportan. Ellos tienen una imaginación brillante y colorida, están constantemente moviéndose, y no se concontran por los largos períodos de tiempo necesarios para que el aprendizaje memorístico funcione.

Si se aplica un método simple y fácil, que refleje la manera en que un niño funciona, esto puede ser el camino a seguir.

El aprendizaje memorístico es un método lineal para la enseñanza de las tablas de multiplicar. El problema con este es que las respuestas también son recordadas por su hijo en forma lineal. Obtener la respuesta correcta toma mucho tiempo y requiere de esfuerzo.

Si el esfuerzo para obtener la respuesta es excesivo, sus hijos simplemente se darán por vencidos y no querrán hacerlo más. Después de esto, se hace más difícil aprender de forma efectiva las tablas de multiplicar y su hijo ya no tendrá la confianza suficiente para aprender.

Las escuelas no tienen más remedio que seguir un plan de estudios establecido, y no hay una forma aceptada de enseñanza de las tablas de multiplicación. Las lecciones escolares no han sido diseñadas para intentar algo diferente.

La concentración durante un largo periodo de tiempo es difícil para los niños pequeños y las lecciones de la escuela no están diseñados teniendo en cuenta esto. Esto puede resultar en problemas para mantenerse enfocado para la clase.

Algunos padres, comprensiblemente, se sienten frustrados de que sus hijos no sean capaces de recordar las más simples de las tablas. Esto a menudo da lugar a comentarios negativos que pueden ser desalentadores para los niños, dejándoles la sensación de que son malos para las matemáticas y la reducción de su confianza.

Para superar esto, tendrá que dar a sus hijos el respando y la confianza en su capacidad desde el primer día. Esto se puede hacer fácilmente con las multiplicación de tablas, y tal como se vayan aprendiendo, se vuelven en un aspecto clave para empezar a crear confianza en las matemáticas.

Las matemáticas son muy "blanco y negro" - ya sea: están bien o mal, no hay "medias tintas" para los niños de la escuela, y esto las hace ideales para la construcción de confianza. Mientras más respuestas correctas tengan, más confianza van a construir.

Imagínese si sus hijos pudieran recordar las tablas de multiplicar al instante - sin tener que pensar en la respuesta, especialmente si han utilizado un método diferente para aprender de forma rápida y precisa - este instante se traducirá en una sensación de confianza y ellos creerán que son buenos para las matemáticas. Cuando sus hijos sienten confianza son más felices y disfrutarán aprendiendo mucho más.

Esta confianza se extiende a los otros temas a medida que empiezan a desarrollar buenos hábitos de aprendizaje y actitudes. La importancia de esto no puede ser subestimada.